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La limite de Betz
Une éolienne, la plus aboutie au monde, dont les pales seront les mieux carénées, dont l’implantation sera la plus propice à capter les vent, ne pourra pas exploiter toute l’énergie contenue dans le courant d’air qui la traverse. En 1926, le physicien allemand Albert Betz a prouvé qu’une éolienne ne pouvait récupérer au maximum que 16/27ème (app. 60%) de l’énergie contenue dans le vent. Avec quelques souvenirs de cours de physique du collège, on devrait pouvoir comprendre l’origine de cette "limite de Betz"...
Une éolienne ralenti le vent.
C’est à partir de cette constatation que nous allons tout comprendre. Le vent est un fluide, une masse d’air qui se propage à une vitesse donnée. Si les souvenirs du collège ne sont pas trop éloignés, c’est la formule de l’énergie cinétique qui nous revient en tête :
E=1/2.m.v²
L’énergie cinétique d’une masse est égale à la moitié du produit de cette masse par le carré de sa vitesse de déplacement.
Revenons maintenant à notre éolienne, bien orientée dans l’axe des vents. Nous allons considérer que le flux d’air qui va traverser la surface balayée par les pales est assimilé à un tube, (une veine de vent).
Si nous considérons le vent amont, qui se déplace à une vitesse V1, nous pouvons dire que pendant 1 seconde, le volume d’air déplacé est égal à la surface de la section du tube (= surface balayée par les pales = S) multiplié par la vitesse V1.
Volume = S.V1
Pour passer d’un volume à une masse, il nous manque ... la densité ou masse volumique de l’air : Φ exprimé en kg/m3 (varie en fonction de l’altitude, de la température, de l’humidité de l’air, etc...).
La masse d’air en amont de l’éolienne est donc égale en 1 seconde à :
m=Φ.Volume
m=Φ.S.V1
L’énergie cinétique contenue en amont de l’éolienne est donc égale à :
E1=1/2.m.V1²
E1=1/2.Φ.S.V1³
De la même manière, l’énergie contenue dans la même masse de vent ralentie à la vitesse V2 est égale à :
E2=1/2.m.V2²
L’énergie cinétique perdue par cette masse de vent est bien sûr celle qui a été transformée en énergie mécanique : la rotation des pales rotor. Elle est donc égale à :
Er=E1-E2
Er=1/2.m(V1²-V2²)
Si nous considérons maintenant que la masse d’air franchit le rotor de l’éolienne à une vitesse moyenne de (V1+V2)/2, l’expression de cette masse devient :
m=Φ.S.(V1+V2)/2
En réinjectant cette expression de la masse dans celle de l’énergie captée par le rotor, nous aboutissons à :
E=1/2. (Φ.S.(V1+V2)/2) (V1²-V2²)
E=1/4.Φ.S.(V1+V2)(V1²-V2²)
Nous avons maintenant à notre disposition la valeur de l’énergie captée par le rotor, en fonction des vitesses en amont et en aval du rotor de notre éolienne.
Si nous voulons comparer l’énergie en aval de l’éolienne à l’énergie captée par le rotor, intéressons nous à Er/E1
Er/E1=1/2.(1 - (V2/V1)²).(1+(V2/V1))
La courbe ci dessous est le tracé de Er/E1 en fonction de V2/V1.
Cette courbe atteint un maximum : 0.592, soit 59.2% : L’énergie Er captée par le rotor ne pourra en aucun cas dépasser 59.2% de l’énergie E1 du vent en aval.
Pour comprendre cette limite, il suffit d’imaginer ce que représenterait un rendement de 100%. Capter toute l’énergie du vent, reviendrait à le stopper complètement : Impensable, même avec une éolienne idéale !